Question

【題目】某公司開發出一種高科技電子節能產品，投資2500萬元一次性購買整套生產設備，此外生產每件產品需成本20元，每年還需投入500萬廣告費，按規定該產品的售價不得低于30元/件且不得高于70元/件，該產品的年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間的函數關系如下表：

x（元/件）	30	31	…	70
y（萬件）	120	119	…	80

（1）求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）第一年公司是盈利還是虧損？冰球出當盈利最大或虧損最小時該產品的售價；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或虧損最小時，第二年公司重新確定產品定價，能否使兩年盈利3500萬元？若能，求第二年產品的售價；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=120﹣ ×1=﹣x+150（30≤x≤70）
（2）解：設公司第一年的盈利為w萬元，則

w=y（x﹣20）﹣2500﹣500=（﹣x+150）（x﹣20）﹣3000=﹣（x﹣85）2+1225≤1225．

∴第一年公司盈利了．

∵30≤x≤70，

∴當x=70時，w最大=1000．

∴當商品售價定為70元/件時，盈利最大，最大為1000萬元；

答：第一年公司盈利了．當盈利最大時該商品的售價為70元

（3）解：兩年共盈利3500萬元，則

（﹣x+150）（x﹣20）﹣500=3500﹣1000，即﹣（x﹣85）2+1225=0，

解得x=120或x=50．

∵30≤x≤70，

∴x=50．

答：能，第二年產品售價是50元/件

【解析】（1）由于當銷售單價定為30元時，一年的銷售量為120萬件，而銷售單價每增加1元，年銷售量就減少1萬件，由此確定y與x的函數關系式；（2）由于首先投資2500萬元購買整套生產設備，又投入500萬廣告費，而生產每件產品的成本為20元，然后利用（1）的結論即可列出公司第一年的盈利w萬元與x函數關系式，接著利用函數關系式即可確定第一年公司是盈利還是虧損；（3）根據（1）（2）可以列出方程（﹣x+150）（x﹣20）﹣500=3500﹣1000，解方程結合已知條件即可解決問題．