Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，并經過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，AB，BC，點E從點A出發，以每秒 個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點G落在第一象限內的拋物線上時，求出t的值；
（3）設點E從點A出發時，點E，F，G都與點A重合，點E在運動過程中，當△BCG的面積為4時，直接寫出相應的t值，并直接寫出點G從出發到此時所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）解：將B（4，4）和C（6，0）代入拋物線y=ax2+bx+4得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如圖1，由題意得：AE= t，

∵A（0，4），B（4，4），

∴AB⊥y軸，且AB∥x軸，

∵OA=OD=4，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ADO=∠BAD=45°，

∴△AFE是等腰直角三角形，

∴AF=EF=t，

∵△EFG是等腰直角三角形，

∴G（t+ t，4﹣ t），

即：點G（ ，4﹣ t），

將點G（ ，4﹣ t）代入到拋物線得：

4﹣ t=﹣ （ ）2+ +4，

解得：t1=0（舍），t2= ，

答：當t= 時，點G落在拋物線上

（3）解：如圖2，連接BD，當G在BD上時，

=4，

t= ，

①當0≤t≤ 時，如圖3，

過G作GH⊥x軸于H，延長HG交AB于M，則GM⊥AB，

∵B（4，4），D（4，0），

∴BD⊥x軸，

∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，

4= （4﹣ +4）（4﹣ ）+ ×4×（6﹣4）﹣ （6﹣ ）（4﹣ t），

4= t，

解得：t= ，

∴AM= = × = ，

GM= t= × = ，

在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG= = = ；

∴當t= 時，此時點G運動的路徑長為 ；

②當G在BC上時，如圖4，

tan∠C= =2，

∴GH=2HC，

∴4﹣ t=2（6﹣ ），

t= ，

當 ＜t≤ 時，如圖5，

S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，

4= ×4×2﹣ （4﹣ +4）（ t﹣4）﹣ × ，

t= （不在此范圍內，不符合題意），

③當E與D重合時，F與B重合，如圖6，

t= =4，

∴G（6，2），

∴AG= =2 ，

∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC= ×2×（4+2）﹣ ×2×4=2，

∴當t＞4時，如圖7，

由題意得：DE=t﹣4，

∴OE=t﹣4+4=t，

∴OH=OE+EH=t+2，

EH=2，GM=GH=2，

BM=t+2﹣4=t﹣2，

CH=t+2﹣6=t﹣4，

過G作MH⊥x軸，交x軸于H，交直線AB于M，

∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，

4= （t﹣4+t﹣2）×4﹣ ×2×（t﹣2）﹣ ×2×（t﹣4），

t=5，

當t=5時，點G的運動路徑分為兩部分組成：

i）點G從A運動到D時，運動路徑為：如圖6中的AG長，即為2 ；

ii）點G從D點繼續在射線DC上運動1秒時，路徑為1；

所以當t=5時，此時點G運動的路徑長度為1+2 ．

綜上所述：當t1= 秒，此時路徑長度為 ，

當t2=5秒，此時路徑長度為1+2 ．

【解析】（1）利用待定系數法把B、C坐標代入解析式即可;（2）用t 的代數式表示出G的橫縱坐標，代入拋物線解析式即可；（3）t=時，E到D，因此時間t 分為當①0≤t≤ ， ② ＜t ③t=4 4)t＞4;5).t=5時，點G的運動路徑分為兩部分組成,綜合起來t=或t=5,分別求出對應的路徑長.