Question

【題目】如圖，射線OA∥射線CB，∠C=∠OAB=100°．點D、E在線段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．

（1）試說明AB∥OC的理由；

（2）試求∠BOE的度數；

（3）平移線段AB；

①試問∠OBC：∠ODC的值是否會發生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應變化規律．

②若在平移過程中存在某種情況使得∠OEC=∠OBA，試求此時∠OEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）理由見解析（2）40°（3）①1：2②60°

【解析】試題分析：（1）根據OA//CB，得出，再根據已知條件，即可證明∠C+∠ABC=180°，從而得證.（2）根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠AOC，再求出∠EOB=∠AOC.（3）①根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AOB=∠OBC，再根據三角形的外角性質∠OEC=2∠OBC即可.②根據三角形的內角定理，求出∠COE=∠AOB，從而得到OB、OD、OE是∠AOC的四等分線，在利用三角形的內角定理即可求出∠OEC的度數.

試題解析：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC=180°，∵∠C=∠OAB=100°，∴∠C+∠ABC=180°，

∴AB∥OC . （2）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=∠EOD，∵∠DOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=∠AOC=×80°=40°；（3）①∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠EOB=∠AOB，∴∠EOB=∠OBC，∴∠OEC=∠EOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OEC=1：2，是定值；

②在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OD、OE是∠AOC的四等分線，

∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，∴∠OEC=∠OBA，此時∠OEC=∠OBA=60°.