Question

【題目】已知二次函數的最大值為4，且該拋物線與軸的交點為，頂點為.

（1）求該二次函數的解析式及點，的坐標；

（2）點是軸上的動點，

①求的最大值及對應的點的坐標；

②設是軸上的動點，若線段與函數的圖像只有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），點坐標為，頂點的坐標為；（2）①最大值是，的坐標為，②的取值范圍為或或.

【解析】

（1）先利用對稱軸公式x=，計算對稱軸，即頂點坐標為（1，4），再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式；
（2）根據三角形的三邊關系：可知P、C、D三點共線時|PC-PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標，就是此時點P的坐標；
（3）先把函數中的絕對值化去，可知，此函數是兩個二次函數的一部分，分三種情況進行計算：①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，兩圖象有一個公共點，當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，兩函數有兩個公共點，寫出t的取值；②線段PQ與當函數y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）時有一個公共點時，求t的值；③當線段PQ過點（-3，0），即點P與點（-3，0）重合時，線段PQ與當函數y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）時也有一個公共點，則當t≤-3時，都滿足條件；綜合以上結論，得出t的取值．

解：（1）∵，

∴的對稱軸為.

∵人最大值為4，

∴拋物線過點.

得，

解得.

∴該二次函數的解析式為.

點坐標為，頂點的坐標為.

（2）①∵，

∴當三點在一條直線上時，取得最大值.

連接并延長交軸于點，.

∴的最大值是.

易得直線的方程為.

把代入，得.

∴此時對應的點的坐標為.

②的解析式可化為

設線段所在直線的方程為，將，的坐標代入，可得線段所在直線的方程為.

（1）當線段過點，即點與點重合時，線段與函數的圖像只有一個公共點，此時.

∴當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.

（2）當線段過點，即點與點重合時，線段與函數的圖像只有一個公共點，此時.

當線段過點，即點與點重合時，，此時線段與函數的圖像有兩個公共點.

所以當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.

（3）將帶入，并整理，得.

.

令，解得.

∴當時，線段與函數的圖像只有一個公共點.

綜上所述，的取值范圍為或或.