Question

【題目】八年級下冊教材第69頁習題14：四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證：AE＝EF．這道題對大多數同學來說，印象深刻數學課代表在做完這題后，她把這題稍作改動，如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的三等分點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，那么AE＝EF還成立嗎？如果成立，給予證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】成立，理由見解析.

【解析】

取AB的三等分點，連接GE，由點E是邊BC的三等分點，得到BE=BG，根據正方形的性質得到AG=EC，根據全等三角形的性質即可得到結論．

證明：取AB的三等分點，連接GE，

∵點E是邊BC的三等分點，

∴BE=BG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AG=EC，

∵△EBG為等腰直角三角形，可知∠AGE=135°，

∵∠AEF=90°，

∠BEA+∠FEC=90°，

∠BEA+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC．

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．