Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，過A作⊙O的切線，與BC的延長線交于D，且AD=

3

+1，CD=2，∠ADC=30°
（1）AC與BC的長；
（2）求∠ABC的度數；
（3）求弓形AmC的面積．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AD于E，則CE=1，利用角邊關系又可求出AE，AC，BC的長；
（2）利用三角形的內角和是180度，可求出∠ABC的度數；
（3）仔細觀察圖形可得S_弓形AmC=S_扇形OAmC-S_△AOC，然后利用面積公式進行計算．

解答：解：（1）作CE⊥AD于E，
∴CE=1，DE=

3

，
又∵AD=

3

+1，
∴AE=1，AC=

2

，
∴∠ABC=45°，
又∵AD²=CD•BD，
∴BC=

3

；

（2）∵∠ADC=30°，
∴∠ECD=60°，
∴∠AFD=60°，
∴∠ABC=30°；

（3）S_弓形AmC=S_扇形OAmC-S_△AOC=

1

4

π-

1

2

，
∴AC=

2

，BC=

3

，∠ABC=45°，
∴S_弓形AmC=

1

4

π-

1

2

．

點評：本題綜合考查了解直角三角形，及扇形的三角形的面積公式．