Question

【題目】如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，

（1）的值為 ；

（2）求證：AE=EP；

（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據同角的正弦值相等即可解答；

（2）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，根據角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結論得出；

（3）作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D，

∵∠AEP=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在Rt△ABE中，AE=，

∵sin∠BAE==sin∠FEC=，

∴，

（2）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，

∵∠B=90°，BK=BE，

∴∠BKE=45°，

∴∠AKE=135°，

∵CP平分外角，

∴∠DCP=45°，

∴∠ECP=135°，

∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK=BE，

∴AB-BK=BC-BE，

即：AK=EC，

由第一問得∠KAE=∠CEP，

∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA），

∴AE=EP；

（3）存在．

證明：作DM⊥AE交AB于點M，

則有：DM∥EP，連接ME、DP，

∵在△ADM與△BAE中，

，

∴△ADM≌△BAE（ASA），

∴MD=AE，

∵AE=EP，

∴MD=EP，

∴MD∥EP，MD=EP，

∴四邊形DMEP為平行四邊形．