Question

有一個直角三角形，它的兩邊長是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩根，且第三條邊長為5，求k的值？

Answer 1

解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0，
分解因式得：（x-k-1）（x-k-2）=0，
可得x-k-1=0或x-k-2=0，
解得：x₁=k+1，x₂=k+2，
可知x₂＞x₁，分兩種情況考慮：
①當5為斜邊時，由勾股定理得：（k+1）²+（k+2）²=25，
解得：k₁=2；k₂=-5，
∵x₁=k+1；x₂=k+2都大于0，
∴k=2；
②當k+2為斜邊時，由勾股定理得（k+1）²+25=（k+2）²，
解得：k₃=11，
綜上所述，k=2或k=11．
分析：利用因式分解法求出已知方程的解，得到直角三角形的兩條邊，然后分兩種情況考慮：5為斜邊時，利用勾股定理列出關系式，求出k的值；當5為直角邊時，利用勾股定理列出關系式，求出k的值，綜上，得到滿足題意k的值．
點評：此題考查了解一元二次方程-因式分解法，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握因式分解法是解本題的關鍵．