Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= （x＞0）的圖象交于點P（n，2），與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，且AC=BC．

（1）求一次函數、反比例函數的解析式；
（2）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函數解析式為y= x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

（2）

解：假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴CE=DE=4，

∴CD=8，

將x=8代入反比例函數y= 得y=1，

∴D點的坐標為（8，1）

∴則反比例函數圖象上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標為（8，1）

【解析】（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三線合一得到O為AB中點，求出OB的長，確定出B坐標，從而得到P點坐標，將P與A坐標代入一次函數解析式求出k與b的值，確定出一次函數解析式，將P坐標代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；（2）假設存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，根據菱形的特點得出D點的坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．