Question

【題目】觀察下列數表

根據數表反映的規律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數應為多少．

（1）第n行與第n列的交叉點上的數應為多少．（用含正整數n的式子表示）

（2）計算左上角2×2的正方形里所有數字之和，即： 在數表中任取幾個2×2的正方形，計算其中所有數字之和，歸納你得出的結論．

Answer 1

【答案】第（1）第6行與第6列的交叉點上的數是11，第n行與第n列的交叉點上的數應為（2n﹣1）；（2）四個數的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，結論：任取2×2的正方形上的四個數字的和都是0．

【解析】

觀察所給四行可知，第1行與第1列的交叉點上的數是1，第2行與第2列的交叉點上的數是3=2×2﹣1，第3行與第3列的交叉點上的數是5=2×3﹣1，第4行與第4列的交叉點上的數是7=2×4﹣1，據此可求出，第6行與第6列的交叉點上的數；

（1）根據前面觀察出的規律，可寫出第n行與第n列的交叉點上的數；

（2）根據所得規律，表示出四個數相加即可求出結論.

第1行與第1列的交叉點上的數是1，

第2行與第2列的交叉點上的數是3=2×2﹣1，

第3行與第3列的交叉點上的數是5=2×3﹣1，

第4行與第4列的交叉點上的數是7=2×4﹣1，

所以，第6行與第6列的交叉點上的數是2×6﹣1=11；

（1）第n行與第n列的交叉點上的數應為（2n﹣1）；

（2）1+（﹣2）+（﹣2）+3=4+（﹣4）=0，

設2×2的正方形左上角的數是n（n＞0），則左下角的數是﹣（n+1），右上角的數是﹣（n+1），右下角的數是（n+2），

所以，四個數的和是n﹣（n+1）﹣（n+1）+（n+2）=2n+2﹣2n﹣2=0，

設2×2的正方形左上角的數是n（n＜0），則左下角的數是﹣n+1，右上角的數是﹣n+1，右下角的數是n﹣2，

所以，四個數的和是n+（﹣n+1）+（﹣n+1）+（n﹣2）=0，

結論：任取2×2的正方形上的四個數字的和都是0．