Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）與y軸交于點C，拋物線G的頂點為D，直線：y＝mx+m﹣1（m≠0）．

（1）當m＝1時，畫出直線和拋物線G，并直接寫出直線被拋物線G截得的線段長．

（2）隨著m取值的變化，判斷點C，D是否都在直線上并說明理由．

（3）若直線被拋物線G截得的線段長不小于2，結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）無論m取何值，點C，D都在直線上，見解析；（3）m的取值范圍是m≤﹣或m≥．

【解析】

（1）當m＝1時，拋物線G的函數表達式為y＝x2+2x，直線的函數表達式為y＝x，求出直線被拋物線G截得的線段，再畫出兩個函數的圖象即可；

（2）先求出C、D兩點的坐標，再代入直線的解析式進行檢驗即可；

（3）先聯立直線與拋物線的解析式，求出它們的交點坐標，再根據這兩個交點之間的距離不小于2列出不等式，求解即可．

（1）當m=1時，拋物線G的函數表達式為y=x2+2x，直線的函數表達式為y=x，
直線被拋物線G截得的線段長為，
畫出的兩個函數的圖象如圖所示：


（2）無論m取何值，點C，D都在直線上．理由如下：
∵拋物線G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）與y軸交于點C，
∴點C的坐標為C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴拋物線G的頂點D的坐標為（-1，-1），
對于直線：y=mx+m-1（m≠0），
當x=0時，y=m-1，
當x=-1時，y=m×（-1）+m-1=-1，
∴無論m取何值，點C，D都在直線上；
（3）解方程組，
得 ，或，
∴直線與拋物線G的交點為（0，m-1），（-1，-1）．
∵直線被拋物線G截得的線段長不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤-或m≥
，
∴m的取值范圍是m≤-或m≥．