Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．
（1）已知點E（0，4），
①直接寫出d（點E）的值；
②直線y=kx+4（k≠0）與x軸交于點F，當d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；

（2）⊙T的圓心為T(7，t)，半徑為1．若d(⊙T)＜11，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k≤-1或k≥1；（3）．

【解析】

（1）①由題意得點E到正方形ABCD邊上C點間的距離最大值，EC=5，即d（點E）的值為5；
②由d（點E）=5得出d（線段EF）的最小值是5，得出符合題意的點F滿足d（點F）≤5，求出當d（點F）=5時，BF1=DF2=5，得出點F1的坐標為（4，0），點F2的坐標為（-4，0），代入y=kx+4求出k的值，再結合函數圖象即可得出結果；

（2）⊙T的圓心為T(7，t)，半徑為1，當d（⊙T）=11時，BM=BN=11，OH=7，得出T1B=T2B=10，BH=OB+OH=1+7=8，由勾股定理求出T1H和T2H，即可得出結果.

解：（1）①∵正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0），點E（0，4）在y軸上，
∴點E到正方形ABCD邊上C點間的距離最大值，EC=5，
即d（點E）的值為5；
②如圖1所示：∵d（點E）=5，
∴d（線段EF）的最小值是5，
∴符合題意的點F滿足d（點F）≤5，
當d（點F）=5時，BF1=DF2=5，
∴點F1的坐標為（4，0），點F2的坐標為（-4，0），
將點F1的坐標代入y=kx+4得：0=4k+4，
解得：k=-1，
將點F2的坐標代入y=kx+4得：0=-4k+4，
解得：k=1，
∴k=-1或k=1．
∴當d（線段EF）取最小值時，EF1直線y=kx+4中k≤-1，EF2直線y=kx+4中k≥1，
∴當d（線段EF）取最小值時，k的取值范圍為：k≤-1或k≥1；

（2）⊙T的圓心為T（7，t），半徑為1，

當d（⊙T）=11時，如圖2所示：
BM=BN=11，OH=7，
∴T1B=T2B=10，BH=OB+OH=1+7=8，
∴T1H=，T2H=，

∴t的取值范圍為：-6＜t＜6．