Question

【題目】在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，以B為圓心，BA為半徑作⊙B交BC于點D，旋轉∠ABD交⊙B于點E、F，連接EF交AC、BC邊于點G、H．

（1）若BE⊥AC，求tan∠CGH的值；

（2）若AG=4，求△BEF與△ABC重疊部分的面積；

（3）△BHE是等腰三角形時，∠ABD逆時針旋轉的度數是_____．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）4-4；（3）22.5°或45°.

【解析】試題分析：（1）先判斷出AC∥BF，進而得出∠CGH=F=45°，即可得出結論；

（2）易知當AG=4時，點G為AC中點，與點E重合，如圖2，過點H作HN⊥BE于N，△BEF與△ABC重疊部分的面積就是△EBH的面積，只需運用三角函數求出HN，即可解決問題；

（3）只需將△BHE的三個內角分別作為等腰三角形的頂角進行分類討論，就可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1．∵BE⊥AC，BE⊥BF，∴AC∥BF，∴∠CGH=∠F=45°，∴tan∠CGH=tan45°=1；

（2）∵∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．∵AG=4，∴點G是AC的中點，此時E與G重合，△ABE是等邊三角形，如圖2．過點H作于HN⊥BE于N，∠BEF=45°，BE=BF，∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，∴EN=HN．設HN=x，則EN=x，NB=4﹣x．在Rt△HNB中，由tan∠NBH=，得：，解得：，∴S△EBH=，即△BEF與△ABC重疊部分的面積為；

（3）①若∠HEB是等腰△BHE的頂角，如圖3，則有∠EBH=∠EHB==67.5°，∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．

②若∠EHB是等腰△BHE的頂角，如圖4，則有∠EBH=∠HEB=45°，∴∠ABE=90°﹣45°=45°．

③若∠EBH是等腰△BHE的頂角，則∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，此時點E與點A重合，沒有旋轉，故舍去．

綜上所述：△BHE是等腰三角形時的旋轉角的度數為22.5°或45°．