Question

【題目】如圖，C為射線AB上一點，AB=30，AC比BC的 多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論： ①BC=2AC；②AB=4NQ；③當PB= BQ時，t=12，其中正確結論的個數是（ ）

A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設BC=x， ∴AC= x+5
∵AC+BC=AB
∴x+ x+5=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①成立，
∵AP=2t，BQ=t，
當0≤t≤15時，
此時點P在線段AB上，
∴BP=AB﹣AP=30﹣2t，
∵M是BP的中點
∴MB= BP=15﹣t
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
當15＜t≤30時，
此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30，
∵M是BP的中點
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
當t＞30時，
此時點P在Q的右側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30，
∵M是BP的中點
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
綜上所述，AB=4NQ，故②正確，
當0＜t≤15，PB= BQ時，此時點P在線段AB上，
∴AP=2t，BQ=t
∴PB=AB﹣AP=30﹣2t，
∴30﹣2t= t，
∴t=12，
當15＜t≤30，PB= BQ時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側，

∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30，
∴2t﹣30= t，
t=20，
當t＞30時，此時點P在Q的右側，

∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30，
∴2t﹣30= t，
t=20，不符合t＞30，
綜上所述，當PB= BQ時，t=12或20，故③錯誤；
故選（C）
根據AC比BC的 多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當P與Q重合時，此時t=30s，當P到達B時，此時t=15s，最后分情況討論點P與Q的位置．