Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，切線GD與AB延長線交于點E．

（1）求證：∠C+∠EDF=90°

（2）已知：AG=6，⊙O的半徑為3，求OF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據切線的性質得OD⊥DE，則∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠EDF+∠C=90°．

（2）先求得EF=ED，設DE=x，則EF=x，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠ODE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE=2x，OE=3+x，然后根據AE﹣OE=OA=3，求得x的值，進而求得OF=1．

（1）證明：連接OD，

∵DE為⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∴∠C+∠EDF=90°．

（2）解：∵∠C+∠EDF=90°，∠C+∠CFO=90°，∠CFO=∠EFD，

∴∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

設DE=x，則EF=x，

∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴==，即==，

∴AE=2x，OE=3+x，

∵AE﹣OE=OA=3，

∴2x﹣（3+x）=3，解得x=4，

∴AE=2x=8，

∴OF=AE﹣EF﹣OA=8﹣3﹣4=1．