Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切于點E．

（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半徑；
（2）過點E作弦EF⊥AB于M，連接AF，若∠F=2∠B，求證：四邊形ACEF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，設圓O半徑為人，

在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，

根據勾股定理得：AB= =12，

∵BC與圓O相切，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BOE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：r= ；

（2）解：∵ = ，∠F=2∠B，

∴∠AOE=2∠F=4∠B，

∵∠AOE=∠OEB+∠B，

∴∠B=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，

∴CB∥AF，

∴四邊形ACEF為平行四邊形，

∵∠CAB=90°，OA為半徑，

∴CA為圓O的切線，

∵BC為圓O的切線，

∴CA=CE，

∴平行四邊形ACEF為菱形

【解析】（1）連接OE，設圓的半徑為r，在之間三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據BC與圓相切，得到OE垂直于BC，進而得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩角相等的三角形相似得到三角形BOE與三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；（2）利用同弧所對的圓周角相等，得到∠AOE=4∠B，進而求出∠B與∠F的度數，根據EF與AD垂直，得到一對直角相等，確定出∠MEB=∠F=60°，CA與EF平行，進而得到CB與AF平行，確定出四邊形ACEF為平行四邊形，再由∠CAB為直角，得到CA為圓的切線，利用切線長定理得到CA=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．此題考查了切線的性質，菱形的判定，相似三角形的判定與性質，以及垂徑定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．
【考點精析】掌握菱形的判定方法和垂徑定理是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．