Question

【題目】九年級（3）班數學興趣小組經過市場調查整理發現某種商品的銷售量P（件）與銷售時間x天（1≤x≤90，且x為整數）成一次函數關系，具體數量關系如下表．已知商品的進價為30元/件，該商品的售價y（元/件）與銷售時間x天的函數關系如圖所示，每天的銷售利潤為w（元）．

（1）求出w與x的函數關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．

【解析】分析：（1）當1≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50≤x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n，代入數據利用待定系數法即可求出p關于x的函數關系式，根據銷售利潤=單件利潤×銷售數量即可得出w關于x的函數關系式；

（2）根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題．當1≤x≤50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50≤x≤90時，根據一次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；

（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論．

詳解：（1）當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b．

∵y=kx+b經過點（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售價y與時間x的函數關系式為y=x+40；

當50＜x≤90時，y=90，∴售價y與時間x的函數關系式為y=．

由每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n．

∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數），當0≤x≤50時，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

當50＜x≤90時，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是

w=．

（2）當0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050．

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元．

當50＜x≤90時，=﹣120x+12000．

∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元．

∵6050＞6000，∴當x=45時，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

（3）當1≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；

當50≤x≤90時，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50≤x≤53．

∵x為整數，∴50≤x≤53，53﹣50+1=4（天）．

綜上可知：21+4﹣1=24（天），故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．