Question

【題目】如圖，畫，并畫的平分線．

（1）將三角尺的直角頂點落在的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與的兩邊分別垂直，垂足為E、F（如圖1），則　 　（選填＜，＞，＝）

（2）把三角尺繞著點P旋轉（如圖2），與相等嗎？試猜想、的大小關系，并說明理由．

拓展延伸1：在（2）條件下，過點P作直線，分別交、于點G、H，如圖3

①圖中全等三角形有多少對（不添加輔助線）

②猜想、、之間的關系，并證明你的猜想．

拓展延伸2：

畫，并畫的平分線，在上任取一點P，作．的兩邊分別與、相交于E、F兩點（如圖4），與相等嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2），理由見解析；拓展延伸1：①全等三角形有3對；②，理由見解析；拓展延伸2：；理由見解析；

【解析】

（1）根據角平分線的性質定理證明；

（2）證明△MPE≌△NPF，根據全等三角形的性質證明結論；

拓展延伸1：①根據等腰直角三角形的性質得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；

②根據勾股定理，全等三角形的性質解答；

拓展延伸2：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，證明△PGE≌△PHF，根據全等三角形的性質證明結論．

（1）∵平分，

∴，

故答案為：＝；

（2），

理由如下：∵，

∴，

由（1）得，，

在和中，

，

∴，

∴；

拓展延伸1：①∵平分，

∴，

∵GH⊥OC，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

同理，，

故答案為：3；

②，

理由如下：∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴；

拓展延伸2：；

理由：作于G，于H，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．