Question

【題目】我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．
（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．
求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀．（不必證明）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，連接BD．

∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，

∴EH∥BD，EH= BD，

∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，

∴FG∥BD，FG= BD，

∴EH∥FG，EH=GF，

∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）

四邊形EFGH是菱形．

證明：如圖2中，連接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD，

∴AC=BD

∵點E，F，G分別為邊AB，BC，CD的中點，

∴EF= AC，FG= BD，

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形．

（3）

四邊形EFGH是正方形．

證明：如圖2中，

設AC與BD交于點O．AC與PD交于點M，AC與EH交于點N．

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD，AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．

【解析】（1）如圖1中，連接BD，根據三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據平行線的性質即可證明．