Question

【題目】如圖,△ABC中, ∠BAC=∠ADB,BE平分∠ABC交AD于點E,交AC于點F,過點E作EG//BC交AC于點G.

（1）求證: AE=AF;
（2）若AG=4，AC=7，求FG的長.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BF平分∠ABC

∴∠ABF=∠CBF

∵∠AFB=180°-∠ABF－∠BAF

∠BED=180°-∠CBF－∠ADB

又∵∠BAC=∠ADB

∴∠AFB=∠BED

∵∠AEF=∠BED

∴∠AFB=∠AEF

∴AE=AF

（2）解：如圖，在BC上截取BH=AB，連接FH

在△ABF和△HBF中

∵

∴△ABF≌△HBF（SAS）

∴AF=FH，∠AFB=∠HFB

∵∠AFB=∠AEF

∴∠HFB=∠AEF

∴AE∥FH

∴∠GAE=∠CFH

∵EG∥BC

∴∠AGE=∠C

∵AE=AF

∴AE=FH

在△AEG和△FHC中

∵

∴△AEG≌△FHC（AAS）

∴AG=FC=4

∴FG=AG+ FC -AC=1

【解析】（1）根據角平分線性質和三角形內角和定理，∠AFB=∠BED，再根據對頂角相等，得到∠AFB=∠AEF，根據等角對等邊得到AE=AF；（2）根據全等三角形的判定方法SAS，得到△ABF≌△HBF，得到對應邊、對應角相等；再由EG∥BC，根據AAS得到△AEG≌△FHC，得到對應邊AG=FC，求出FG=AG+ FC -AC的值.