Question

【題目】如圖， 直線與軸交于點，與雙曲線 在第三象限交于兩點，且 ；下列等邊三角形，，，……的邊，，，……在軸上，頂點……在該雙曲線第一象限的分支上，則= ____，前25個等邊三角形的周長之和為 _______．

Answer 1

【答案】； 60

【解析】

設，設直線與軸的交點為H，先求解的坐標，得到∠HAO=30°，用含的代數式表示，聯立函數解析式利用根與系數的關系得到關于的方程，從而可得第一空的答案；過分別向軸作垂線，垂足分別為先根據等邊三角形的性質與反比例函數的性質求解的邊長，依次同法可得后面等邊三角形的邊長，發現規律，再前25個等邊三角形的周長之和即可．

解：設，設直線與軸的交點為H，

令 則

令 則

∴H（），又A（0，b），

∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，

過作軸于 作軸于，

∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，

∴AB=，AC=，

∴，

聯立

得到。

∴，由已知可得，

∴，

∴反比例函數的解析式為，

過分別向軸作垂線，垂足分別為

設

由等邊三角形的性質得：

得：

（舍去）

經檢驗：符合題意，

可得的邊長為4，

同理設 ，

解得： （舍去）

經檢驗：符合題意，

的邊長為，

同理可得：的邊長為，

的邊長為．

∴前25個等邊三角形的周長之和為

=

故答案為：