Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（6，6），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．
（1）求證：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度數；并判斷線段HG、OH、BG之間的數量關系，說明理由；
（3）連結BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中

∴△CDG≌△CBG（HL），
（2）解：∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中

∴△CHO≌△CHD（HL）
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四邊形AEBD可為矩形
如圖，

連接BD、DA、AE、EB
因為四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．
因為DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形．
所以當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．
∵四邊形DAEB為矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
設H點的坐標為（x，0）
則HO=x
∵OH=DH，BG=DG
∴HD=x，DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x
∴（x+3）2=32+（6﹣x）2
∴x=2
∴H點的坐標為（2，0）．
【解析】（1）求證全等，觀察兩個三角形，發現都有直角，而CG為公共邊，進而再鎖定一條直角邊相等即可，因為其為正方形旋轉得到，所以邊都相等，即結論可證．
（2）上問的結論，本題一般都要使用才能求出結果．所以由三角形全等可以得到對應邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路你也容易發現△CDH≌△COH，也有對應邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．由上幾問知DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點的坐標，可以設其為（x，0），則OH=x，AH=6﹣x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達式表達，那么根據勾股定理可列方程，進而求出x，推得H坐標．