Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點．

（1）求證：AC2=ABAD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=7，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB．

又∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD．

（2）證明：∵E為AB的中點，∠ACB=90°，

∴CE= AB=AE．

∴∠EAC=∠ECA．

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA．

∴AD∥CE

（3）解：∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE= AB，

∴CE= ×7= ，

∵AD=5，

∴ = ，

∴ =

【解析】（1）首先證明△ADC∽△ACB，然后依據相似三角形的對應邊成比例得到AC2=ABAD；
（2）根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可證得CE=,AB=AE，然后依據等邊對等角的性質可得到∠EAC=∠ECA．通過等量代換可得到∠DAC=∠ECA，故此可證明CE∥AD；
（3）首先證明△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例的性質可求得的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．