Question

【題目】如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)過點(diǎn)A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O于點(diǎn)B，延長BO與⊙O交與點(diǎn)C，連接AC，BF．

（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）是探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）若tan∠F= ，求cos∠ACB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

連接OA，
∵PD⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴PA=PB，OA=OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OQP=90°，
∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴BP與⊙O相切
（2）解：EF，OD，OP間的數(shù)量關(guān)系為4EF2=OD×OP，
理由：∵∠OAP=90°，AD⊥OP，
∴OA2=OD×OP，
∵OA= EF，
∴OD×OP= EF2 ，
∴4EF2=OD×OP
（3）解：∵tanF= ，設(shè)BD=a，
∴FD=2a，AD=a，DE= a，EF= a，
∴OD= a，
∴AC= a，
∴cos∠ACB=
【解析】考查對圓的認(rèn)識，正多邊形和圓（內(nèi)角，外角，中心角，邊心距，邊長，周長，面積的計算），弧長的計算 ，扇形面積的計算等考點(diǎn)的理解.
小題1 連接OA，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線.
小題2 由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關(guān)系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證.
小題3 根據(jù)勾股定理易求BC的長；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解.