Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題．

（1）填空：點C的坐標為（ ， ），點D的坐標為（ ， ）；
（2）設點P的坐標為（a，0），當|PD﹣PC|最大時，求α的值并在圖中標出點P的位置；
（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設點C對應點C′的橫坐標為t（其中0＜t＜6），在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）0,3,1,4
（2）解：∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，

∴延長DC交x軸于點P，

設直線DC的解析式為y=kx+b，把D、C兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線DC的解析式為y=x+3，

將點P的坐標（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如圖1，點P（﹣3，0）即為所求；

（3）解：過點C作CE∥x，交直線BD于點E，如圖2，

由（2）得直線DC的解析式為y=x+3，

可求得直線BD的解析式為y=﹣2x+6，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，當y=3時，x= ，

∴E點坐標為（ ，3），

設直線P′C′與直線BC交于點M，

∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點（0，3﹣t），

∴直線P′C′的解析式為y=x+3﹣t，

聯立 ，解得 ，

∴點M坐標為（ ， ），

∵B′C′∥BC，B′坐標為（3+t，0），

∴直線B′C′的解析式為y=﹣x+3+t，

分兩種情況討論：

①當0＜t＜ 時，如圖2，B′C′與BD交于點N，

聯立 ，解得 ，

∴N點坐標為（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′= ×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ t2+3t，

其對稱軸為t= ，可知當0＜t＜ 時，S隨t的增大而增大，當t= 時，有最大值 ；

②當 ≤t＜6時，如圖3，直線P′C′與DB交于點N，

聯立 ，解得 ，

∴N點坐標為（ ， ），

S=S△BNP′﹣S△BMP′= （6﹣t）× ﹣ ×（6﹣t）× = （6﹣t）2= t2﹣t+3；

顯然當 ＜t＜6時，S隨t的增大而減小，當t= 時，S=

綜上所述，S與t之間的關系式為S= ，且當t= 時，S有最大值，最大值為 ．

【解析】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴C（0，3），D（1，4），

所以答案是：0；3；1；4；