Question

【題目】CD是經過∠BCA定點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠β．

（1）若直線CD經過∠BCA內部，且E、F在射線CD上，

①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左邊圖，則BE CF，EF |BE - AF|

（填“＞”，“＜”，“＝”）；

②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中間圖，①中的兩個結論還成立嗎？并說明理由；

（2）如右邊圖，若直線CD經過∠BCA外部，且∠β=∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數量關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）①=，= ②兩結論依然成立，證明見解析 （2）EF=BE+AF

【解析】

（1）①本題考查全等三角形的判定，可利用AAS定理進行解答；

②本題考查全等三角形判定，可通過三角形內角和定理運用AAS解答．

（2）本題考查全等三角形的判定，運用三角形內角和以及平角定義，通過AAS解答．

（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°

∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°

∴∠BCF=∠CAF

又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

∴

②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°

又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°

∴∠FCA+∠CAF=∠BCA

∵∠BCA=∠BCE+∠FCA

∴∠CAF=∠BCE

∵CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

∴

（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°

又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA

∴∠B=∠ACF

∵CA=CB

∴△BEC△CFA(AAS)

∴BE=CF，CE=AF

EF=EC+CF=AF+BE