Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長為3cm等邊三角形，動點P、Q分別同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，點P速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t(s)，

⑴當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

⑵△PBQ能否成為等邊三角形？若能，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=0.6或1.5時，△PBQ是直角三角形；（2）當t=1時，△BPQ是等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得∠B=60°，分情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據30°所對的直角邊是斜邊的一半建立方程求解;

（2）根據等邊三角形的性質可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

（1）根據題意得AP=tcm，BQ=2tcm，

∵在△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°，

∴BP=(3t)cm，

在△PBQ中，BP=3t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，則

∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當∠BQP=90°時,BQ=BP，

即2t= (3t)，t=0.6，

當∠BPQ=90°時,BP=BQ，

3t=×2t，t=1.5

當t=0.6或1.5時，△PBQ是直角三角形.

（2）當△BPQ為等邊三角形時，

BP=PQ=BQ，

即3t=2t，

解得t=1.

故當t=1時，△BPQ是等邊三角形.