Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點E，F分別在BC，AC上，且BE=CF，連結AE與BF相交于點G．將△ABC沿AB邊折疊得到△ABD，連結DG．延長EA到點H，使得AH=BG，連結DH．

（1）求證：四邊形DBCA是菱形．

（2）若菱形DBCA的面積為8，，求△DGH的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形DBCA是菱形（證明過程見解析）（2）S△DGH=．

【解析】

試題分析：（1）利用等邊三角形的性質和折疊的定義，可知AC=AD=BC=BD，利用菱形的判定定理可得結論；

（2）首先證得△ABE≌△BCF（SAS），再由菱形的性質和全等三角形的判定證得△DBG≌△DAH（SAS），由全等三角形的性質和相似三角形的判定可證得△DBA∽△DGH，由相似三角形的性質面積比等于相似比的平方，可得結果．

試題解析：證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC由折疊知AC=AD，BC=BD，

∴AC=AD=BC=BD，

∴四邊形DBCA是菱形；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

在△ABE與△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB=∠BFC，

∵四邊形DBCA是菱形，

∴DA∥BC，DB∥AC，∠BDA=∠C=60°，

∴∠HAD=∠AEB，∠DBG=∠BFC，

∴∠HAD=∠DBG，

在△DBG與△DAH中，

，

∴△DBG≌△DAH（SAS），

∴DG=DH，∠BDG=∠ADH，

∴∠HDG=∠ADH+∠GDA=∠BDG+∠GDA=∠BDA=60°，

又∵DA=DB，DG=DH，

∴△DBA∽△DGH，

∴，

∵S△DBA=S菱形DBCA=，

∴S△DGH=．