Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式，并求出△ABC的面積；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x，3；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，－5）；（3）或或17或5．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)面積公式求△ABC的面積；（2）如圖①，過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計(jì)算求出m的值，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長(zhǎng)，利用面積公式進(jìn)行計(jì)算．

試題解析：

（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2＋bx，求得該拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x；

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC＝×2×3＝3；

（2）如圖①，過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P（m，－m2＋4m），

由S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

可得6= 3×3＋ （3＋m－1）（m2－4m）－（m－1）（3＋m2－4m），

∴3m2－15m＝0，m1＝0（舍去），m2＝5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，－5）；

（3）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖②，

CM＝MN，∠CMN＝90°，則△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC＝，∴S△CMN＝；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖③，

作輔助線，構(gòu)建如圖③的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌span>Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝，∴S△CMN＝；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖④，

CN＝MN，∠MNC＝90°，作輔助線，同理得：CN＝，∴S△CMN＝17；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖⑤，

同理得：CN＝，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∴S△CMN＝5；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或或17或5．