Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 為正方形，取 AB 中點O ，以 AB 為直徑， O 圓心作圓．

（1）如圖 1，取CD 的中點 P ，連接 BP 交⊙ O 于Q ，連接 DQ 并延長交 AB 的延長線于 E ，求證： QE BE AE ；

（2）如圖 2，連接 CO 并延長交⊙ O 于 M 點，求tanM 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AQ，AP，根據直角所對的圓周角是直角可得∠AQB=∠AQP=90°，從而證出A、Q、P、D四點共圓，再根據圓周角定理的推論可得∠DAP=∠DQP，利用SAS證出△ADP≌△BCP，推出∠EBQ=∠EQA，即可證出△EBQ∽△EQA，列出比例式變形即可證出結論；

（2）延長OA至N，使ON=OC，連接CN，根據等邊對等角可得∠N=∠OCN，然后根據三角形外角的性質即可推出∠M=∠N，設OB=a，則BC=2a，利用勾股定理求出OC，從而求出ON，然后求出tanN即可得出結論．

解：（1）連接AQ，AP，

∵AB 為直徑

∴∠AQB=∠AQP=90°

∵四邊形 ABCD 為正方形，

∴∠ADC=90°，AB∥CD，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC

∴∠ADC＋∠AQP=180°，∠EBQ=∠DPQ

∴A、Q、P、D四點共圓

∴∠DAP=∠DQP

∴∠EQA =∠EQB＋∠BQA=∠DQP＋90°=∠DAP＋90°=∠DAP＋∠ADP=∠APC

∵DP=CP，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC

∴△ADP≌△BCP

∴∠APD=∠BPC

∴∠APD＋∠APB=∠BPC＋∠APB

∴∠DPQ=∠APC

∴∠EBQ=∠EQA

∵∠E=∠E

∴△EBQ∽△EQA

∴

∴QE BE AE ；

（2）延長OA至N，使ON=OC，連接CN

∴∠N=∠OCN

∴∠COB=∠N＋∠OCN=2∠ONC

∵OB=OM

∴∠M=∠OBM

∴∠COB=∠M＋∠OBM=2∠M

∴∠M=∠N

∵四邊形 ABCD 為正方形，點O為AB的中點

∴BC=AB=2OB

設OB=a，則BC=2a

根據勾股定理可得OC=

∴ON=OC=

∴BN=ON＋OB=

∴tanN=

∴tanM=