Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點F，連接CF.

（1）求證△ACD≌△BFD

（2）求證：BF＝2AE；

（3）若CD＝，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AD =2+

【解析】

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE，從而得證；

（3）根據全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據AD=AF+DF代入數據即可得解．

（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，

∠CAD＝∠CBE，AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，

∴△ACD≌△BFD（ASA）

（2）由（1）可知：BF=AC

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

(3) ∵△ACD≌△BFD，

∴DF=CD=，

在Rt△CDF中，CF=，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2．

∴AD=AF+DF=2+