Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為，，P為y軸上B點下方一點， ，以AP為邊作等腰直角△APM，其中，點M落在第四象限．若直線MB與x軸交于點Q，則Q、M兩點中，點_________（填“Q”或“M”）的坐標不隨m的變化而變化，該點的坐標為______________．

Answer 1

【答案】Q；

【解析】

設直線MB的解析式為y=nx-4，再用m表示點M坐標為（m+4，-m-8）．代入MB解析式，求得直線MB的解析式則問題可解．

解：作MN⊥y軸于點N．

∵△APM為等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP．
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM．（AAS）
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵點M在第四象限，
∴點M的坐標為（m+4，-m-8）．

設直線MB的解析式為y=nx-4（n≠0）．
∵點M（m+4，-m-8）．
在直線MB上，
∴-m-8=n（m+4）-4．
整理，得（m+4）n=-m-4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．
解得n=-1．
∴直線MB的解析式為y=-x-4．
∴無論m的值如何變化，點Q的坐標都為（-4，0）．

故答案為：Q；（-4，0）