Question

【題目】如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm，OD=3cm，開始的時候BD=1cm，現在三角板以2cm/s的速度向右移動．

（1）當B與O重合的時候，求三角板運動的時間；
（2）如圖2，當AC與半圓相切時，求AD；
（3）如圖3，當AB和DE重合時，求證：CF2=CGCE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得：BO=4cm，t==2（s）；

（2）

解：如圖2，連接O與切點H，

則OH⊥AC，

又∵∠A=45°，

∴AO=OH=3cm，

∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；

（3）

證明：如圖3，連接EF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵DE為直徑，

∴∠ODF+∠DEF=90°，

∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，

又∵∠FCG=∠ECF，

∴△CFG∽△CEF，

∴=，

∴CF2=CGCE．

【解析】（1）根據題意得出BO的長，再利用路程除以速度得出時間；
（2）根據切線的性質和判定結合等腰直角三角形的性質得出AO的長，進而求出答案；
（3）利用圓周角定理以及同角的余角性質定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，進而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余角和補角的特征的相關知識，掌握互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．