Question

【題目】如圖1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過B、C兩點作過點A的直線l的垂線，垂足為D、E；

（1）如圖1，當D、E兩點在直線BC的同側時，猜想，BD、CE、DE三條線段有怎樣的數量關系？并說明理由．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，∠BAC=90°，AB=25，AC=35．點P從B點出發沿B→A→C路徑向終點C運動；點Q從C點出發沿C→A→B路徑向終點B運動．點P和Q分別以每秒2和3個單位的速度同時開始運動，只要有一點到達相應的終點時兩點同時停止運動；在運動過程中，分別過P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．問：點P運動多少秒時，△PFA與△QAG全等？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(1)BD+ CE = DE； (2)成立；（3）點P運動10或12秒.

【解析】試題分析：（1）)BD+ CE = DE，根據∠BDA=∠CEA=90°，證得∠EAC=∠ABD，利用AAS證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質可得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE；

（2）成立，利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，進而證得△ADB≌△CEA，即可得出答案．

（3）根據三角形的面積公式即可求得；

（4）易證∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA與△QAG全等，然后只需根據點P和點Q不同位置進行分類討論即可解決問題．

試題解析：

(1)BD+DE=CE

證：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，

∵BD⊥l，CE⊥l

∴∠BDA=∠CEA=90°

∴∠ABD+∠DAB=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

(2)成立

證：∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD

∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD

∵∠BAC=∠BDA

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（3）點P運動10或12秒.