Question

如圖，在直角坐標系中，A的坐標為（a，0），D的坐標為（0，b），且a、b滿足

a+2

+(b-4)2=0
（1）求A、D兩點的坐標；
（2）以A為直角頂點作等腰直角三角形△ADB，直接寫出B的坐標；
（3）在（2）的條件下，當點B在第四象限時，將△ADB沿直線BD翻折得到△A′DB，點P為線段BD上一動點（不與B、D重合），PM⊥PA交A′B于M，且PM=PA，MN⊥PB于N，請探究：PD、PN、BN之間的數量關系．

Answer 1

（1）∵a、b滿足

a+2

+(b-4)2=0，
∴a+2=0，b-4=0，
解得：a=-2，b=4，
∴A、D兩點的坐標分別為：（-2，0），（0，4）；

（2）如圖1，過點B₁作B₁C⊥x軸于點C，
∵△AB₁D是等腰直角三角形，
∴AB₁=AD，∠B₁AC+∠OAD=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠B₁AC=∠ADO，
∵在△ACB₁和△DOA中，

∠ACB1=∠AOD=90° ∠B1AC=∠ADO AB1=AD

，
∴△ACB₁≌△DOA（AAS），
∴AC=OD=4，B₁C=OA=2，
∴OC=OA+AC=6，
∴點B₁的坐標為：（-6，2）；
同理：點B₂的坐標為：（4，-2）；
綜上：點B的坐標為：（-6，2），（4，-2）；

（3）PN=PD+BN．
如圖2，過點A作AE⊥BD于點E，
由折疊的性質可得：AD=A′D，AB=A′B，
∵AD=AB，
∴AD=AB=A′D=A′B，
∴四邊形ABA′D是菱形，
∵∠DAB=90°，
∴菱形ABA′D是正方形，
∴DE=BE=

1

2

BD，∠A′BN=45°，
∵MN⊥BD，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∵PM⊥PA，
∴∠APE+∠MPN=90°，
∵∠APE+∠PAE=90°，
∴∠PAE=∠MPN，
∵在△APE和△PMN中，

∠PAE=∠MPN ∠AEP=∠PNM=90° PA=PM

，
∴△APE≌△PMN（AAS），
∴PE=MN，
∴PE=BN，
∴PN=PE+EN=BN+EN=BE，PD+PE=PD+BN=DE，
∴PN=PD+BN．