Question

【題目】如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

首先，需要證明線段B1B2就是點B運動的路徑（或軌跡），如圖1所示．利用相似三角形可以證明；其次，證明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的長．

解：如圖1所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP，ABi，BBi，

∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，

∴∠OAP＝∠B1ABi，

又∵AB1＝AOtan30°，ABi＝APtan30°，

∴AB1：AO＝ABi：AP，

∴△AB1Bi∽△AOP，

∴∠B1Bi＝∠AOP．

同理得△AB1B2∽△AON，

∴∠AB1B2＝∠AOP，

∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，

∴點Bi在線段B1B2上，即線段B1B2就是點B運動的路徑（或軌跡）．

由圖形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，

∴

Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，

∴

∴

∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，

∴∠PAN＝∠B1AB2，

∴△APN∽△AB1B2，

∴，

∵ON：y＝﹣x，

∴△OMN是等腰直角三角形，

∴OM＝MN＝，

∴PN＝，

∴B1B2＝，

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B1B2，其長度為．

故答案為：．