Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），經過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并用含a的式子表示直線l的函數表達式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為 時，求拋物線的函數表達式；
（3）設點P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣1，0），

如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，

∴ = ，

∵CD=4AC，

∴ = =4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D點的橫坐標為4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐標代入y=kx+b得 ，

解得 ，

∴直線l的函數表達式為y=ax+a

（2）

解：如圖2，過點E作EH∥y軸，交直線l于點H，

設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a）．

∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，

由 得x=﹣1或x=4，

即點D的橫坐標為4，

∴S△ADE=S△AEH+S△DEH= （﹣ax2+3ax+4a）=﹣ a（x﹣ ）2+ a．

∴△ADE的面積的最大值為 a，

∴ a= ，

解得：a= ．

∴拋物線的函數表達式為y= x2﹣ x﹣

（3）

解：已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

設P（1，m），

①若AD為矩形的邊，則AD∥PQ，且AD=PQ，

則Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2= ，

∵a＞0，

∴a= ，

∴P1（1， ），

②若AD是矩形的一條對角線，則AD與PQ互相平分且相等．

∴xD+xP=xA+xQ，yD+yA=yP+yQ，

∴xQ=2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP=8a

∴P（1，8a）．

∵四邊形APDQ為矩形，

∴∠APD=90°

∴AP2+PD2=AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2

即a2= ，

∵a＞0，

∴a=

∴P2（1，4）

綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1， ）或（1，4）

【解析】（1）由拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于兩點A、B，求得A點的坐標，作DF⊥x軸于F，根據平行線分線段成比例定理求得D的坐標，然后利用待定系數法法即可求得直線l的函數表達式．（2）設點E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根據直線和拋物線解析式求得點D的橫坐標，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函數解析式，根據最值確定a的值即可；（3）分以AD為矩形的對角線和以AD為矩形的邊兩種情況利用矩形的性質確定點P的坐標即可．