Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點E是AC的中點，AC=2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點D，作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接FC．
求證：四邊形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】證明：∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，∵AF∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC，
∴四邊形ADCF是菱形．

【解析】先證明△AEF≌△CED，推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明∠DAC=∠ACB，推出DA=DC，由此即可證明．本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于基礎題，中考常考題型．
【考點精析】掌握菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．