Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點坐標為M(1，0)，直線與該二次函數的圖象交于A，B兩點，其中A點的坐標為(3，4)，B點在軸上．

（1）求m的值及這個二次函數的解析式；

（2）若P(，0) 是軸上的一個動點，過P作軸的垂線分別與直線AB和二次函數的圖象交于D、E兩點．

①當0<< 3時，求線段DE的最大值；

②若直線AB與拋物線的對稱軸交點為N，問是否存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)①有最大值②存在.（2，0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）將A點坐標分別代入拋物線的直線，便可求出拋物線的解析式和m的值；

（2）過A作AH⊥PM于H，利用△MAB的面積=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH計算即可；

（3）①線段DE的長為h，根據P點坐標分別求出DE兩點坐標，便可求出h與a之間的函數關系式，進而可求出線段DE的最大值；

②存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，由①知DE=|-a2+3a|，進而求出a的值，所以P的坐標可求出．

（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）2，

∵點A（3，4）在拋物線上，則4=a（3-1）2，

解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x-1）2

∵點A（3，4）也在直線y=x+m，即4=3+m，

解得m=1；

（2）過A作AH⊥PM于H，

∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），

∴OB=1，OH=3，AH=4，

∴△MAB的面積=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH=7.5-×1×1-×2×4=3；

（3）①已知P點坐標為P（a，0），則E點坐標為E（a，a2-2a+1），D點坐標為D（a，a+1），

h=DE=yD-yE=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，

∴h與a之間的函數關系式為h=-a2+3a=-（a-）2+（0＜a＜3），

∴線段DE的最大值是；

②存在一點P，使以M、N、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

理由是∵M（1，0），

∴把x=1代入y=x+1得：y=2，

即N（1，2），

∴MN=2，

要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，

由①知DE=|-a2+3a|，

∴2=|-a2+3a|，

解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=，

∴（2，0），（1，0）（因為和M重合，舍去）（，0），（，0）

∴P的坐標是（2，0），（，0），（，0）．