Question

【題目】已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，則下列結論中錯誤的是（ ）
A.a＞0，x＞0，f（x）≥0
B.a＞0，x＞0，f（x）≤0
C.a＞0，x＞0，f（x）≥0
D.a＞0，x＞0，f（x）≤0

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0， ∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），
令f′（x）=0，解得x= ，
當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x= ，函數有最小值，最小值為f（ ）= e2a﹣1+a
∴f（x）≥f（ ）= e2a﹣1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要 e2a﹣1+a≥0，
設g（a）= e2a﹣1+a，
∴g′（a）=1﹣e2a﹣1 ，
令g′（a）=0，解得a=
當a∈（ ，+∞）時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減，
當x∈（0， ）時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增
∴g（a）＜g（ ）=0，
∴ e2a﹣1+a≤0，當且僅當a= 時取等號，存在唯一的實數a= ，使得對任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正確，
當a≠ 時，f（x）＜0，故C錯誤
故選：C
【考點精析】根據題目的已知條件，利用全稱命題的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題．