Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿折線AC-CB運動，到點B停止．當點P不與△ABC的頂點重合時，過點P作其所在直角邊的垂線交AB 于點Q，再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR，且點R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側，設△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．點P的運動時間為t（秒）．

（1）求點P在AC邊上時PQ的長，（用含t的代數式表示）；
（2）求點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍；
（3）當點P在AC邊上運動時，求S與t之間的函數關系式；
（4）直接寫出點R落在△ABC高線上時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

由題意可知AP=4t，

tanA= ，

∴PQ=3t；

（2）解：①當點P在AC邊上時，如圖①．

∵∠RPQ=45°，∠CPQ=90°，

∴∠CPR=45°=∠RPQ，

∴點R到直線AC、PQ距離相等，

此時0＜t＜1．

②當點P在BC邊上時，過點R作RH⊥PQ于點H，如圖②，

則有PC=4t-4，PB=7-4t，

∵tanB= ，

∴PQ= PB= （7-4t）．

由題可得：RH= PC．

∵RH= PQ，

∴PC=PQ，

∴4t-4= （7-4t），

解得：t= ．

綜上所述：0＜t＜1或t= ；

（3）解：①當0＜t≤ 時，如圖①．

過點R作RH⊥PQ于點H，

S= PQRH= ×3t× = t2．

②當 ＜t＜1時，如圖③．

過點R作RH⊥PQ于點H，交BC于點G，

則有RG⊥MN，RH= PQ= t，GH=PC=4-4t，

∴S=S△RPQ-S△RMN= PQRH- MNRH

=RH2RG2=（ t）2-[ t-（4-4t）]2

=-28t2+44t-16；

（4）解：點R落在△ABC高線上時，t的值為 ， ， ， .

可分以下幾種情況討論：如圖④～⑦

①點P在AC上，且點R在AB的高CH上，如圖④，

過點P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易求得AB=5，CH= ，AH= ，BH= ．

PC=4-4t，CG= PC= （4-4t），PG= PC= （4-4t），

AQ= AP=5t，QH=AH-AQ= -5t．

根據CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG= ，得

（4-4t）+ -5t+ （4-4t）= ，

解得：t= ．

②點P在AC上，且點R在AC的高BC上，如圖⑤

過點R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ= AP=3t，PC=4-4t，

∴3t=2（4-4t），

解得：t= ．

③點P在BC上，且點R在BC的高AC上，如圖⑥，

過點R作RH⊥PQ于H，

易得PQ=2RH=2PC，PQ= PB= （7-4t），PC=4t-4，

∴ （7-4t）=2（4t-4），

解得：t= ．

④點P在BC上，且點R在AB的高CH上，如圖⑦，

過點P作PG⊥CH于G，

易證△PGR≌△RHQ，則有PG=RH，GR=QH．

易證△CGP∽△CHB，

∴ ．

∵BC=3，CH= ，BH= ，CP=4t-4，

∴CG= PC= （4t-4），PG= PC= （4t-4），

同理可得QB= PB= （7-4t），QH=QB-BH= （7-4t）- ．

根據CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH= ，得

（4t-4）+ （4t-4）-[ （7-4t）- ]= ，

解得：t= ．

【解析】（1）根據題意求出tanA的值，得到點P在AC邊上時PQ的長；（2）①當點P在AC邊上時，得到點R到直線AC、PQ距離相等，此時0＜t＜1；②當點P在BC邊上時，由tanB的值求出PQ的代數式，點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍；（3）根據三角形的面積公式得到點P在AC邊上運動時，S與t之間的函數關系式；（4）①點P在AC上，且點R在AB的高CH上，得到△PGR≌△RHQ，根據全等三角形的對應邊相等，得到PG=RH，GR=QH；求出t的值；②點P在AC上，且點R在AC的高BC上時，求出t的值；③點P在BC上，且點R在BC的高AC上時，直接求出t的值；④點P在BC上，且點R在AB的高CH上時，得到△CGP∽△CHB，得到比例，求出t的值；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．