Question

【題目】已知頂點(diǎn)為A（2，﹣1）的拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0）；

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接AB、BD、DA，求的大小；

（3）點(diǎn)P在x軸正半軸上位于點(diǎn)D的右側(cè)，如果∠APB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3 （2） （3）點(diǎn)P（3+，0）．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；

（2）先求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)可得到∠BDO=∠ADO=45°，從而可證明△ABD為直角三角形，然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得AB和BD的長(zhǎng)，最后依據(jù)余弦定理的定義求解即可；

（3）先證明△ADP∽△PDB，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到DP2=BD×AD，從而可求得DP的長(zhǎng)，故此可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）∵頂點(diǎn)為A（2，﹣1）的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0），

∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

把（1，0）代入可得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,

∴B（0,3）∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∴·

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BDAD=3×=6，

∴PD=，∴OP=3+，∴點(diǎn)P（3+，0）．

“點(diǎn)睛”本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、學(xué)生三角形的性質(zhì)和判斷，證得△ABD為直角三角形是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵；證得△ADP∽△PDB是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵.