Question

【題目】已知，在平面直角從標系中，A點坐標為（0，4），B點坐標為（2，0），C（m，6）為反比例函數y=圖象上一點．將△AOB繞B點旋轉至△A′O′B處．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長度；

（3）直接寫出當AO′最短和最長時A′點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①證明詳見解析；②﹣1；(3) 當AO′最短時A′點的坐標（，），當AO′最長時A′點的坐標（，）．

【解析】

試題分析：（1）只需把點C的坐標代入反比例函數的解析式，就可解決問題；

（2）①過點C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四邊形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根據兩點之間線段最短可知：當點O′在線段AB上時AO′最短（如圖2），當點O′在線段AB的延長線上時AO′最長（如圖3）；過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需運用相似三角形的性質即可解決問題．

試題解析：（1）∵C（m，6）為反比例函數y=圖象上一點，

∴m==；

（2）①過點C作CH⊥y軸與H，如圖1．

∵點C的坐標為（，6），

∴CH=，OH=6，

∴tan∠COH=，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四邊形ACA′O′為平行四邊形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等邊三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=，OH=6，

∴OC=，

∴CO′=OC﹣OO′=﹣2．

∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，

∴CD=O′D=CO′=﹣1；

（3）當AO′最短時A′點的坐標（，），當AO′最長時A′點的坐標（，）．

提示：①當點O′在線段AB上時，AO′最短，

過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，如圖2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴，

∴，

∴BN=，O′N=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴==2，

∴=，=，

∴A′（，）即（，）；

②當點O′在線段AB延長線上時，AO′最長，

過點O′作O′N⊥x軸于N，過點A′作A′M⊥O′N于M，如圖3．

同理可得：A′（，）．