Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸從左至右交于A，B兩點，與y軸交于點c．

（1）若拋物線過點T(1，-)，求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內的拋物線上是否存在點D，使得以A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，在(1)的條件下，點P的坐標為(-1，1)，點Q(6，t)是拋物線上的點，在x軸上，從左至右有M、N兩點，且MN=2,問MN在x軸上移動到何處時，四邊形PQNM的周長最小？請直接寫出符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)M(-，0)

【解析】

（1）把T的坐標代入解析式，求出a的值，寫出解析式；
（2）根據點D在第二象限，∠DAB為鈍角，所以當A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似時，只能∠DAB與∠ACB對應，所以分以下兩種情況討論：①如圖2，當△BDA∽△ABC時，∠BAC=∠ABD，
②當△DBA∽△ABC時，如圖3，∠ABC=∠ABD，分別列比例式，得方程求解；
（3）本題介紹兩種解法：
解法一：先求出Q的坐標為（6，10），通過軸對稱作出使四邊形PQNM的周長最小時的M、N的位置，因為PQ、NM為定值，要想周長最小，則需要PM+NQ最小，即想辦法做到一直線上，因此作P關于x軸的對稱點P′，找到P′G=2，且P′G∥x軸，利用平移構建平行四邊形P′GNM，從而得到x軸上的M和N，求出M的坐標．
解法二：同理得Q的坐標，作P關于x軸的對稱點P′，過Q作QH∥x軸，交y軸于H，在QH上從Q起取一點Q'，使QQ'=2，連接Q'P'，交x軸于一點，則此點為M，根據P'Q'的解析式可得M的坐標．

（1）如圖1，把T（1，﹣）代入拋物線y=（x﹣2）（x+a）得：

﹣=（1﹣2）（1+a），

解得：a=4，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x﹣2；

（2）當x=0時，y=×（﹣2）×a=﹣2，

∴C（0，﹣2），

當y=0時，（x﹣2）（x+a）=0，

x1=2，x2=﹣a，

∴A（﹣a，0）、B（2，0），

如圖2，過D作DE⊥x軸于E，

設D（m，n），

∵點D在第二象限，∠DAB為鈍角，

∴分兩種情況：

①如圖2，當△BDA∽△ABC時，∠BAC=∠ABD，

∴tan∠BAC=tan∠ABD，即，

∴，

n=，

則，

解得：m=﹣2﹣a或2，

∴E（﹣2﹣a，0），

由勾股定理得：AC=，

∵，

∴，

BD=，

∵△BDA∽△ABC，

∴，

∴AB2=ACBD，

即（a+2）2=，

解得：0=16，此方程無解；

②當△DBA∽△ABC時，如圖3，∠ABC=∠ABD，

∵B（2，0），C（0，﹣2），

∴OB=OC=2，

∴△OBC是等腰直角三角形，

有BC=2，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴∠ABC=∠ABD=45°，

∴DE=BE，

n=﹣m+2，

∴BD=，

∵△DBA∽△ABC，

∴，

∴AB2=BDBC，

∴（a+2）2=2=4n，

則，

解得：，

則a=2+2；

（3）解法一：當x=6時，y=（6﹣2）（6+4）=10，

∴Q（6，10），

如圖4，作P關于x軸的對稱點P′，過P′作P′G∥x軸，且P′G=2，連接GQ交x軸于N，過P′作P′M∥GN，交x軸于M，

此時，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM為定值，所以此時，四邊形PMNQ的周長最小，

∵P（﹣1，1），

∴P′（﹣1，﹣1），

∵P′G∥MN，P′M∥GN，

∴四邊形P′GNM是平行四邊形，

∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM，

∴G（1，﹣1），

設GQ的解析式為：y=kx+b，

把G（1，﹣1）和Q（6，10）代入得：，

解得：，

∴GQ的解析式為：y=x﹣，

當y=0時，x=，

∴N（，0），

∵MN=2，

∴M（﹣，0）．

解法二：如圖5，同理得Q（6，10），

P（﹣1，1）關于x軸的對稱點P′（﹣1，﹣1），過Q作QH∥x軸，交y軸于H，在QH上從Q起取一點Q'，使QQ'=2，連接Q'P'，交x軸于一點，則此點為M，此時，四邊形PMNQ的周長最小，

∵Q'（4，10），P′（﹣1，﹣1），

易得P'Q'的解析式為：y=x+，

當y=0時， x+=0，x=﹣，

∴M（﹣，0）．