Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=

10

，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與BC交于點(diǎn)E，P是該拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖2）：
①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達(dá)式；
②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出相應(yīng)的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，根據(jù)題意可得Rt△AOB≌Rt△CFD，則可得C（3，3），D（4，0），則利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）①連接AE交OB于點(diǎn)G，因?yàn)镋的縱坐標(biāo)為3，代入即可求得其橫坐標(biāo)的值，則可求得BE的長，則可證得四邊形AOEB是平行四邊形，當(dāng)PC過點(diǎn)G時(shí)，PC把四邊形AOEB的面積平分，由點(diǎn)C與G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線PC的解析式；
②首先求得M與N的坐標(biāo)，再分別從PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10這三方面去分析，注意不要漏解，

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，
由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，
∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，
∴CF=

CD2-DF2

=3，
∴C（3，3），D（4，0），
∴

9a+3b+c=3 16a+4b+c=0 c=0

，
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴所求的拋物線為y=-x²+4x；

（2）①連接AE交OB于點(diǎn)G，
把y=3代入y=-x²+4x，
得：-x²+4x=3，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴E（1，3），
∴BE=1=OA，
∵BE∥OA，
∴四邊形AOEB是平行四邊形，
∴當(dāng)PC過點(diǎn)G（G為AOEB兩條對角線的交點(diǎn)）時(shí)，PC把四邊形AOEB的面積平分，
∵OG=

1

2

OB=

3

2

，
∴G（0，

3

2

），
∴C（3，3），
∴直線CG為：y=

1

2

x+

3

2

，
∴即直線PC為：y=

1

2

x+

3

2

；

②存在滿足條件的點(diǎn)P，
由（1）知拋物線的對稱軸為x=2，
設(shè)P（2，y），對稱軸交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，
則M（2，3），N（2，0），
∴PB²=PM²+BM²=（y-3）²+4，PA²=PM²+AM²=y²+9，AB²=10，
有三種可能，
若∠PBA=90°，則PA²=PB²+AB²，
∴y²+9=（y-3）²+4+10，
解得y=

7

3

，
∴P（2，

7

3

），
∴AP=

(-1-2)2+(0- 7 3 )2

=

130

3

，
此時(shí)△PAB外接圓的面積是：π×（

1

2

×

130

3

）²=

65

18

π，
若∠PAB=90°，則PB²=PA²+AB²，
∴（y-3）²+4=y²+9+10，
解得：y=-1，
∴P（2，-1），
∴BP=2

5

，
此時(shí)△PAB外接圓的面積是：5π，
若∠APB=90°，則PB²+PA²=AB²，
∴（y-3）²+4+y²+9=10，此方程無實(shí)數(shù)根，
∴此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P不存在，
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，
當(dāng)點(diǎn)P（2，

7

3

）時(shí)，△PAB外接圓的面積是

65

18

π，
當(dāng)點(diǎn)P（2，-1）時(shí)，△PAB外接圓的面積是5π．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．