Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為C（1，﹣2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在x軸的正半軸上，且OA=3，B點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點(diǎn)E．

（1）求直線AB的解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）．

（3）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線AB解析式為y=x﹣；

（2）E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x， x2﹣x﹣）；

（3）△ABE面積的最大值為．

【解析】試題分析：（1）由條件可先求得拋物線解析式，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；

（2）由條件可知P、E的橫坐標(biāo)相同，又點(diǎn)E在拋物線上，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由（2）可用x表示出PE的長，則可用x表示出△ABE的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

試題解析：（1）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

∵OA=3，且點(diǎn)A在x軸的正半軸上，

∴A（3，0），

∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣，當(dāng)x=0時(shí)可得y=﹣，

∴B（0，﹣），

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A、B坐標(biāo)代入可得，解得，

∴y=x﹣；

（2）∵點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥x軸，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，

∵點(diǎn)E在拋物線上，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x， x2﹣x﹣）；

（3）∵點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，

∴P（x， x﹣），則E（x， x2﹣x﹣），

∴PE=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

由（2）可知點(diǎn)B到PE的距離x，點(diǎn)A以PE的距離為3﹣x，

∴S△ABE=PEx+PE（3﹣x）=PE（x+3﹣x）=PE=（﹣x2+x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，S△ABE有最大值，最大值為，

∴△ABE面積的最大值為．