Question

【題目】如圖，已知點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC.

(1)如圖①，若點O在BC上，求證：△ABC是等腰三角形．

(2)如圖②，若點O在△ABC內部，求證AB＝AC.

(3)若點O在△ABC的外部，AB＝AC還成立嗎？請畫圖說明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）AB＝AC不一定成立．

【解析】

（1）對于圖①，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠ABC＝∠ACB，即可得出答案；
（2）對于圖②，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠EBO＝∠FCO，即可得出答案；
（3）畫出符合條件的兩種情況：圖③和圖④，根據HL證Rt△OEB≌Rt△OFC，根據全等三角形的性質得出∠EBO＝∠FCO，即可得出答案.

(1)證明：如圖，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則∠OEB＝∠OFC＝90°.

∵點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

,

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形．

(2)證明：如圖，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則∠OEB＝∠OFC＝90°.

∵點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

,

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠ABO＝∠ACO.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

(3)解：AB＝AC不一定成立．

理由：當∠BAC的平分線所在直線和BC的垂直平分線重合時，如圖③，過O作OE⊥AB交AB的延長線于E，OF⊥AC交AC的延長線于F，則∠OEB＝∠OFC＝90°.

∵點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，

∴OE＝OF.

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

,

∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)．

∴∠EBO＝∠FCO.

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠ABC＝180°－(∠OBC＋∠EBO)，

∠ACB＝180°－(∠OCB＋∠FCO)，

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

當∠BAC的平分線所在直線和BC的垂直平分線不重合時，如圖④，∠ABC和∠ACB不相等，∴AB≠AC.

綜上，AB＝AC不一定成立．