Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點，與y軸相交于點C（0，

3

）．當x=-4和x=2時，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的函數值y相等，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M、N時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請說明理由；若存在，請求出F點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據當x=-4和x=2時，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的函數值y相等，可以求得函數的對稱軸，根據A、B對稱，即可求得B的坐標，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）根據M、N點的運動速度相同，可以得到BM=BN，進而根據翻折的性質證明，四邊形BMPN是菱形，則△CPN相似于△CAB，根據相似三角形的性質，求得OD，PD的長度，則可以求得P的坐標；
（3）點F在對稱軸上，則F的橫坐標一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三種情況進行討論，前兩種情況利用t表示出AE，CE的長度，即可得到關于t的方程從而求解；第三種情況求得直線HF的解析式，再根據F的橫坐標是-1，即可求解．

解答：解：（1）由題意可得，對稱軸為x=

-4+2

2

=-1，
由對稱性可得B點坐標為（1，0）
則設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
又過點 C（0，

3

），代入可解得a=-

3

3

則解析式為y=-

3

3

(x+3)(x-1)，
即y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

（2）∵M、N點的運動速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四邊形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x軸）
∴△CPN相似于△CAB．
∴

PN

AB

=

CN

CB

易得AB=4，BC=2
∴

t

4

=

2-t

2

解得t=

4

3

∴NB=

4

3

，∴CN=

2

3

∴

CN

CB

=

CD

CO

=

DN

OB

，
代入可解得CD=

3

3

，DN=

1

3

∴OD=

2 3

3

，PD=1
∴P(-1，

2 3

3

)

（3）在直角△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

9+3

=2

3

．
設F點坐標為（1，a）
①當AF=AC時，∵AC=2

3

，∴AE=

(-1+3)2+a2

=2

3

解得：a=±2

2

∴F（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）；
②當CF=CA時，∴CE=

12+(a- 3 )2

=2

3

解得：a=

3

±

11

．
則F的坐標是（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）；
③當EA=EC時，E點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，中點H的坐標是（-

3

2

，

3

2

）．
設直線AC的解析式是：y=kx+b，根據題意得：

-3k+b=0 b= 3

，解得：

k= 3 3 b= 3

，
則AC的解析式是：y=

3

3

x+

3

．
∵F點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，
∴直線HF的一次項系數是-

3

．
設HF的解析式是y=-

3

x+c，把H的坐標代入得：-

3

×（-

3

2

）+c=

3

2

，解得：c=-

3

，
則HF的解析式是：y=-

3

x-

3

．
令x=-1，解得y=0，
則F的坐標是（-1，0）．
總之，F的坐標是：（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）或（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）或（-1，0）．

點評：本題是考查了二次函數與菱形的判定與性質，待定系數法求函數的解析式的綜合應用，正確證明四邊形BMPN是菱形是關鍵．