Question

如圖，直線y=kx+b與y軸的交點坐標為A（0，1），與x軸的交點坐標為B（-3，0）；P、Q分別是x軸和直線AB上的一動點，在運動過程中，始終保持QA=QP；△APQ沿直線PQ翻折得到△CPQ，A點的對稱點是點C．
（1）求直線AB的解析式．
（2）是否存在點P，使得點C恰好落在直線AB上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，則

b=1 -3k+b=0

解得

b=1 k= 1 3

，
即y=

1

3

x+1；

（2）分三種情況考慮下
第一種情況（如圖甲）：設P的坐標為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關于直線PQ對稱，并且點A，Q，C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形．
根據AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴點C的坐標為（t+1，t）．
∵點C落在直線AB上，
∴

1

3

(t+1)+1=t，解得t=2．即P的坐標為（2，0）．

第二種情況（如圖乙）：設P的坐標為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關于直線PQ對稱，并且點A，Q，C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC，
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形．
根據AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴點C的坐標為（t-1，-t）．
∵點C落在直線AB上，∴

1

3

(t-1)+1=-t，解得t=-

1

2

．
即P的坐標為（-

1

2

，0）．

第三種情況（如圖丙）：
當點P與點B重合時，Q恰好是線段AB的中
點，此時點A關于直線PQ的對稱點C與點A重
合，但A，P，Q三點共線，不能構成三角形，
故不符合題意．