Question

【題目】如圖，⊙O的直徑FD⊥弦AB于點H，E是上一動點，連結FE并延長交AB的延長線于點C，AB=8，HD=2．

（1）求⊙O的直徑FD；

（2）在E點運動的過程中，EFCF的值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，請說明理由；

（3）當E點運動到的中點時，連接AE交DF于點G，求△FEA的面積．

Answer 1

【答案】（1）DF=10；（2）是，EFCF=80；（3）S△FEA=30．

【解析】分析：（1）連接OA，由垂徑定理得到AH=AB=4，設OA=x，在Rt△OAH中，根據勾股定理列方程即可得到結論；（2）根據垂徑定理得到，根據圓周角定理得到∠BAF=∠AEF，推出△FAE∽△FCA，根據相似三角形的性質得到，推出AF=EFCF，代入數據即可得到結論;（3）連接OE，由E點是的中點，得到∠FAE=45°，∠EOF=90°，于是得到∠EOH=∠AHG，推出△OGE∽△HGA，根據相似三角形的性質得到，求得OG= ,得到FG=OF+OG=,根據三角形的面積公式即可得到結論．

本題解析：（1）連接OA，∵直徑FD⊥弦AB于點H，∴AH=AB=4，設OA=x，

在Rt△OAH中，AO2=AH2+，即x2=42+，∴x=5，

∴DF=2OA=10；

（2）是，

∵直徑FD⊥弦AB于點H，∴ ，∴∠BAF=∠AEF，

∵∠AFE=∠CFA，∴△FAE∽△FCA，∴，∴AF2=EFCF，

在Rt△AFH中，AF2=AH2+FH2=44+82=80，

∴EFCF=80；

（3）連接OE，∵E點是 的中點，∴∠FAE=45°，∠EOF=90°，

∴∠EOH=∠AHG，∵∠OGE=∠HGA，∴△OGE∽△HGA，

∴，即=，∴OG=，∴FG=OF+OG=，

∴S△FEA=S△EFG+S△AFG=FGOE+FGAH=××（4+5）=30．